بررسی گراف جابه جایی و گراف توان یک گروه متناهی ‎ و ویژگی های متریک گراف ها

فرض کنیم ‎$g$‎ یک گروه متناهی و ‎$‎x‎subseteq‎‎ g$‎ باشد. گراف جابه جایی ‎$c(g,x)$‎ عبارت است از گرافی با مجموعه رئوس ‎$x$‎ به طوری که برای هر ‎$x,yin x$‎، ‎$xy$‎ یال است اگر و تنها اگر ‎$xy = yx$‎. این گراف به طرق گوناگون بررسی شده است. در این جا دو حالت ‎$c(g,g)$‎ و ‎$c(g,g setminus z(g))$‎ را در نظر می گیریم. هدف ما بررسی ساختار، ویژگی های متریک و خواص گروه خودریختی های این گراف هاست. علاوه بر این برای گروه متناهی ‎$g$‎، گراف توان ‎$p(g)$‎ را گرافی با مجموعه رئوس ‎$g$‎ در نظر می گیریم که دو راس ‎$x,y in g$‎ تشکیل یال می دهند اگر وتنها اگر ‎اعداد طبیعی ‎‎$‎n‎$‎ و ‎$‎‎‎m‎$‎ ‎‎‎ ‎‎ ‎‎‎موجود باشد که ‎$x=y^n$‎ یا ‎$y=x^m$‎. برای گراف توان خواصی مانند عدد رنگی، عدد استقلال و ... را بررسی می کنیم و در پایان به برخی خواص متریک گراف های ملکولی نانودندریمرها می پردازیم.